Гравитационно потенциальная энергия

Гравитационная потенциальная энергия (ГПЭ) — это форма потенциальной энергии, которую обладает объект, находясь в поле гравитации. Простыми словами, это количество энергии, которое объект может получить, если его поднять вверх против силы притяжения Земли. ГПЭ зависит от массы объекта, высоты, на которую его подняли, и ускорения свободного падения (обычно принимается за около 9.81 метра в секунду в квадрате на поверхности Земли).

В повседневной жизни ГПЭ имеет большое значение. Вот несколько примеров:

1. Энергоснабжение: ГПЭ используется в гидроэлектростанциях, где вода поднимается вверх к высокому резервуару, а затем опускается, преобразуя ГПЭ в электроэнергию. Это способствует производству электроэнергии, которая питает наши дома и предприятия.

2. Транспорт: Поднимая автомобиль на подъемник в автомастерской или поднимая груз на кране, мы также работаем с ГПЭ. Расчет ГПЭ может быть полезным при определении, сколько энергии необходимо для поднятия или перемещения объектов.

3. Спорт: В спорте, таком как прыжки и метания, ГПЭ влияет на высоту, на которую можно подняться или дальность броска. Понимание ГПЭ может помочь спортсменам улучшить свои результаты.

4. Исследования и инженерия: В науке и инженерии ГПЭ играет важную роль при проектировании и анализе различных систем, таких как ракеты, мосты и сооружения.

Мы все интуитивно понимаем, что поднятие тяжелого груза над головой может быть опасным. Однако опасность не всегда связана с весом самого груза, а скорее с тем, как хорошо он закреплен. Нас волнует то, что сила, удерживающая груз от падения под действием гравитации, может внезапно перестать действовать. Если говорить более точно с физической точки зрения, нас интересует гравитационная потенциальная энергия этого груза.

Важно отметить, что все консервативные силы связаны с потенциальной энергией. Сила гравитации здесь не исключение. Гравитационной потенциальной энергии обычно присваивается символ U_g. Этот символ описывает потенциальную энергию, которую объект обладает благодаря своему положению в гравитационном поле.

Давайте рассмотрим ситуацию, когда у нас есть объект массой «m», который мы поднимаем на высоту «h» против силы тяжести. Объект движется вертикально, поднимаясь с помощью шкива и веревки, поэтому сила, противодействующая гравитации (F_g), и сила тяжести направлены в одном направлении. Если «g» — ускорение свободного падения, то работу, которую сила, противодействующая гравитации, выполняет над объектом, можно найти, умножив величину силы тяжести (F_g) на расстояние, на которое объект поднят (h). Это предполагает, что ускорение свободного падения остается постоянным на протяжении всей высоты «h».

Уравнение для гравитационной потенциальной энергии (U_g) выглядит следующим образом:

U_g = F_g * h = m * g * h

Когда объект поднимается вертикально, он приобретает гравитационную потенциальную энергию. Если бы сила, удерживающая объект, исчезла, объект начал бы падать обратно на землю, и его потенциальная энергия превратилась бы в кинетическую энергию движущегося объекта. Наша статья о законе сохранения энергии включает в себя несколько примеров, которые можно решить, понимая, как гравитационная потенциальная энергия преобразуется в другие формы энергии.

Интересно, что в гравитационной потенциальной энергии можно выбрать произвольный нулевой уровень. Другими словами, мы можем выбрать любую вертикальную точку, где «h=0», и считать ее нулевым уровнем. Для простых механических задач удобно выбрать нулевым уровнем пола лаборатории или поверхности стола. Однако в принципе мы могли бы выбрать любую другую точку, которую называем исходной. Гравитационная потенциальная энергия также может быть отрицательной, если объект находится ниже нулевого уровня. Главное — использовать одну и ту же точку отсчета во всех вычислениях.

Упражнение 1а. Сколько электроэнергии потребует лифт, чтобы поднять человека весом 75 кг на высоту 50 метров, если эффективность лифтовой системы составляет 25 %? Предположим, что масса пустой кабины лифта уравновешена противовесом.

Для рассчета затрат электроэнергии необходимо использовать следующую формулу: Электроэнергия = работа / эффективность.

Где:

• Работа = масса * ускорение свободного падения * высота.
• Масса человека = 75 кг.
• Ускорение свободного падения ≈ 9.81 м/с².
• Высота подъема = 50 м.

Теперь мы можем рассчитать работу и затраты электроэнергии: Работа = 75 кг * 9.81 м/с² * 50 м = 36842.5 Дж (джоулей).

Теперь рассчитаем затраты электроэнергии: Электроэнергия = 36842.5 Дж / 0.25 (эффективность) = 147370 Дж (джоулей).

Упражнение 1b (дополнение): Какова будет стоимость поездки на лифте, если предположить, что стоимость электроэнергии составляет 0.10 рубля за кВт⋅час.

Для рассчета стоимости электроэнергии, нам нужно преобразовать Джоули в кВт⋅час. 1 Дж = 2.77778e-7 кВт⋅час.

Электроэнергия в кВт⋅час = 147370 Дж * 2.77778e-7 кВт⋅час/Дж = 0.041 кВт⋅час.

Теперь рассчитаем стоимость: Стоимость = 0.041 кВт⋅час * 0.10 рубля/кВт⋅час = 0.0041 рубля.

Упражнение 2. Гравитационная потенциальная энергия — одна из немногих форм энергии, которую можно эффективно использовать для хранения в больших масштабах. Для накопления избыточной электроэнергии от ветряных и солнечных источников необходимы масштабные системы хранения, которые могут передавать энергию в сеть во время пикового спроса. Гидроаккумулирующие системы могут достичь этой цели.

На изображении ниже показан пример такой системы. Вода поднимается в верхний резервуар, используя избыточную энергию для запуска двигателя, который активирует турбинный насос. Когда потребность в энергии высока, направление потока меняется. Насос становится генератором, приводимым в действие гравитационной потенциальной энергией воды в верхнем резервуаре. Вода может быть выпущена очень быстро, чтобы удовлетворить пиковые потребности в электроэнергии для всего города или даже нескольких городов.

Гидроаккумулирующая станция округа Бат является крупнейшей в мире гидроаккумулирующей системой. Она обслуживает 60 миллионов человек и имеет генерирующую мощность около 3 гигаватт (3 ГВт). Перепад высоты системы составляет 380 метров. Предположим, что общая эффективность системы составляет 80%. Теперь мы можем рассчитать, какой объем воды из верхнего резервуара должен пройти через турбину за 30 минут, чтобы обеспечить поставку 3 ГВт электроэнергии в город.

Для расчета объема воды используем следующую формулу:

Объем воды = Электроэнергия / (плотность * g * h * эффективность).

Где:

• Электроэнергия = 3 ГВт = 3 * 10^9 Вт.
• Плотность воды ≈ 1000 кг/м³.
• g (ускорение свободного падения) ≈ 9.81 м/с².
• h (высота) = 380 м.
• Эффективность системы = 80%.

Теперь выполним расчет:

Объем воды = (3 * 10^9 Вт) / (1000 кг/м³ * 9.81 м/с² * 380 м * 0.80) ≈ 122292 м³.

Таким образом, для обеспечения поставки 3 ГВт электроэнергии в город за 30 минут, необходимо, чтобы примерно 122292 м³ воды прошли через турбину.

Таблица основных физических констант, которые могут быть полезными для различных физических расчетов:

Помните, что значения этих констант могут использоваться в различных физических формулах для проведения различных расчетов и анализа явлений в мире физики.

Когда мы рассматриваем задачи, связанные с большими расстояниями, мы не можем считать гравитационное поле равномерным. Давайте вспомним закон всемирного тяготения Ньютона, который говорит о том, что сила притяжения между двумя массами, обозначим их как m₁ и m₂, уменьшается с квадратом расстояния между ними, обозначим это расстояние как r. Гравитационная постоянная обозначается как G.

Итак, формула для этой силы выглядит так:

F = (G * m₁ * m₂) / r²

Здесь F — сила притяжения, G — гравитационная постоянная, m₁ и m₂ — массы двух объектов, а r — расстояние между ними в квадрате.

Когда мы имеем дело с гравитационной потенциальной энергией на больших расстояниях, мы обычно выбираем точку бесконечности как нашу нулевую точку потенциальной энергии. Это может показаться странным, так как все значения гравитационной потенциальной энергии становятся отрицательными.

Это имеет смысл, так как по мере увеличения расстояния r сила гравитации стремится к нулю. Только когда r становится бесконечно большим, мы можем считать, что гравитационная потенциальная энергия близка к нулю.

Для космического корабля, покидающего Землю, это происходит на высоте около 5 * 10^7 метров над поверхностью, что примерно в четыре раза больше диаметра Земли. На этой высоте ускорение свободного падения уменьшилось примерно до 1% от значения на поверхности.

Если мы учитываем, что проделанная работа равна силе, умноженной на расстояние, то мы видим, что умножение силы гравитации на расстояние r уменьшает квадрат в знаменателе.

Поэтому, если мы устанавливаем нулевую потенциальную энергию на бесконечности, гравитационная потенциальная энергия U_g как функция r равна:

U_g(r) = — (G * m₁ * m₂) / r

Это удобно для расчета энергии, необходимой для перемещения между разными телами в Солнечной системе. Это также позволяет представить гравитационную яму, из которой нужно «вылезти», чтобы перейти с одной планеты на другую.

На изображении ниже показаны гравитационные ямы Плутона и его спутника Харона, калиброванные для космического корабля массой 1000 кг.

Основываясь на графике, показанном на изображении выше, определите, какую работу необходимо совершить против силы тяжести в путешествии, начавшемся в состоянии покоя на поверхности Харона и прибывшем на поверхность Плутона с нулевой скоростью?