Калькулятор времени генерации

Модели экспоненциального роста используются, когда количество, функция или, в нашем случае, размер популяции бактерий увеличивается со временем на постоянный процентный прирост за каждую единицу времени, причем размер прироста зависит от значения функции на предыдущем шаге. Этот вид роста бактерий является необходимым в современном мире, включая очистку воды в очистных сооружениях сточных вод!

Модели экспоненциального роста часто описывают функции с «ленивым» началом, за которым следует взрывной рост; экспоненты, на самом деле, являются наиболее быстрорастущими функциями в математике.

Мы познакомились с экспоненциальным ростом во время пандемии коронавируса: несколько случаев в один день, немного больше на следующий день, а затем все вышло из-под контроля: без мер предосторожности, начальные фазы эпидемии следуют экспоненциальному росту — а потом, к счастью, замедляются.

Экспоненциальный рост населения определяется следующим уравнением:

N(t) = N(t₀) ⋅ (1 + r)^(t-t₀)

Здесь:

N(t) — количество бактерий в момент времени t; N(t₀) — начальное количество бактерий в момент времени t₀; r — коэффициент роста, то есть прирост за единицу времени; и (t-t₀) — прошедшее время.

Обычно время t₀ устанавливают равным нулю, что упрощает уравнение:

N(t) = N(0) ⋅ (1 + r)^t

Чтобы вычислить коэффициент роста бактерий r, уравнение можно переставить:

r = (N(t) / N(0))^(1/t) — 1

Таким образом, если известно начальное количество бактерий и количество бактерий через определенный промежуток времени, можно вычислить коэффициент роста.

Одной из распространенных величин, используемых при изучении населения, является время поколения, то есть время, необходимое для удвоения размера населения в результате бинарного расщепления:

t_d = 2 * t(0) = t(0) * (1 + r)

где N(t_d) — количество населения через время t_d, N(0) — начальное количество населения, r — коэффициент прироста.

Время удвоения равно:

t_d = ln(2) / ln(1+r) = t * ln(N(0) / N(t)) / ln(2)

Здесь ln — натуральный логарифм.

Таким образом, время удвоения населения зависит от начального количества населения, коэффициента прироста и количества населения в конечный момент времени. Если население растет быстрее, чем удваивается, то время удвоения будет меньше, а если рост замедляется, то время удвоения увеличивается.

В лаборатории Мичиганского университета 24 февраля 1988 года начался самый долгий в истории эксперимент по эволюции. Двенадцать идентичных популяций бактерий E. coli были оставлены на самовоспроизводство. В 2021 году эксперимент достиг более 70 тысяч поколений, при этом наблюдались мутации на каждом возможном нуклеотиде генетического кода бактерий.

Ежедневно 1% каждой популяции передается и подготавливается к росту на следующий день. Ограничение ежедневного количества особей на уровне 99% необходимо из-за экспоненциального роста: давайте использовать калькулятор для роста бактерий в этом эксперименте.

Давайте начнем с 12 бактерий, по одной на каждую популяцию. Скорость роста E. coli в эксперименте составляет примерно 0,36, что соответствует времени удвоения в примерно 3,61 часа. Допустим также, что популяция бактерий может расти без ограничений.

Теперь вводим все значения в калькулятор для расчета времени поколений, предполагая, что прошел день:

N(24)=12⋅(1+0,2117)24=1204

Это может не выглядеть впечатляюще, ведь это всего лишь население небольшой деревушки. Но на следующий день это число увеличится до 100 000 — скромного городка. А к концу третьего дня у нас будет 10 миллионов бактерий, как в Токио. Через неделю (168 часов) число бактерий будет больше числа звезд в Млечном Пути (мы используем это число в калькуляторе уравнения Дрейка):

N(168)=12⋅(1+0,2117)168=1,22⋅1015

Чем выше скорость роста, тем короче время поколения бактерий. Не забывайте время от времени проверять свои колонии!