P-значения

Простым языком: P-значение — это шанс получить такие же или более редкие результаты, как у вас, если предположить, что в мире всё идет своим чередом, то есть ваша основная гипотеза верна.

Подробнее: Когда мы делаем эксперимент, мы обычно проверяем какую-то гипотезу. Например, «это лекарство помогает лучше, чем плацебо». В статистике такую гипотезу называют альтернативной. Но чтобы проверить её, сначала мы предполагаем, что на самом деле ничего особенного нет, и это называется нулевой гипотезой (H0).

P-значение — это вероятность увидеть результаты вашего эксперимента (или ещё более необычные), если нулевая гипотеза верна.

Три вида тестов:

1. Левосторонний тест: Мы проверяем, насколько маленький результат у нас получился.
2. Правосторонний тест: Здесь нас интересует, насколько большой результат мы получили.
3. Двусторонний тест: Используется, когда мы хотим узнать, насколько результат отличается от обычного, в большую или меньшую сторону.

Как это работает? Если мы представим все возможные результаты эксперимента как график, то p-значение — это часть этого графика, которая показывает насколько необычными были ваши результаты.

Примеры:

• В случае симметричного распределения (например, нормального) это будет выглядеть как две одинаковые области по обе стороны от центра.
• В случае несимметричного распределения (например, хи-квадрат) области будут разные.

Зачем это нужно? P-значение помогает нам понять, насколько убедительны наши результаты. Чем меньше p-значение, тем меньше вероятность того, что наши результаты случайны, и тем больше оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

P-значение — это ключ к пониманию результатов ваших статистических тестов. Оно помогает определить, насколько ваши данные соответствуют предположениям вашей гипотезы.

Определение: P-значение — это вероятность того, что результат вашего эксперимента (или более крайний) произойдет, если нулевая гипотеза (H0) действительно верна. Нулевая гипотеза — это предположение о том, что между изучаемыми явлениями нет никакой связи.

Шаги расчета:

1. Определение распределения: В первую очередь, вам нужно знать, как распределен ваш статистический показатель при условии, что нулевая гипотеза верна.
2. Использование функции распределения (cdf): С помощью этой функции мы можем выразить вероятность того, что статистика будет такой же или более крайней, чем значение x для вашего образца.

Типы тестов:

• Левосторонний тест: P-значение = cdf(x).
• Правосторонний тест: P-значение = 1 — cdf(x).
• Двусторонний тест: P-значение = 2 × минимальное из {cdf(x), 1 — cdf(x)}.
• Для симметричного распределения: P-значение = 2 × cdf(-|x|) или, что то же самое, P-значение = 2 — 2 × cdf(|x|).

Важное замечание: Большинство распределений, используемых в гипотезах, имеют сложные формулы cdf, поэтому рассчитать p-значение вручную бывает сложно. В таких случаях лучше воспользоваться компьютером или статистическими таблицами, где уже собраны приблизительные значения cdf.

Почему это важно? Зная p-значение, вы можете сравнить его с заданным уровнем значимости α (вероятностью ошибки первого рода, когда нулевая гипотеза отвергается, хотя на самом деле верна) и решить, следует ли отвергать нулевую гипотезу на этом уровне значимости. Этот подход к p-значению является альтернативой методу критического значения, где уровень значимости α устанавливается заранее.

P-значение — это мера того, насколько ваши данные согласуются с нулевой гипотезой. Нулевая гипотеза — это стандартное предположение о том, что между изучаемыми вами явлениями нет связи.

Ключевые моменты интерпретации:

1. Высокое P-значение: Это означает, что ваши данные хорошо согласуются с нулевой гипотезой. Ваши результаты не противоречат предположению о том, что никаких особых изменений или эффектов нет.
2. Низкое P-значение: Это свидетельствует против нулевой гипотезы. Маленькое p-значение говорит о том, что получить такие результаты при верной нулевой гипотезе маловероятно.

Пример: Представьте, что вы исследуете эффект нового лекарства и получаете P-значение 0.03. Это значит, что в 3% подобных исследований результаты могут быть получены случайно, даже если на самом деле лекарство не оказывает никакого эффекта.

Как принимать решения, основываясь на P-значении:

• Если P-значение ≤ α (уровень значимости): Вы отвергаете нулевую гипотезу и принимаете альтернативную.
• Если P-значение > α: Недостаточно оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Значение уровня значимости α:

• Уровень значимости должен быть определен заранее.
• Часто используется уровень значимости 0.05, но это не единственно возможный выбор.
• Важно понимать, что нет ничего абсолютно точного в пороге 0.05.

Заключение и совет:

• Важно учитывать контекст и область знаний, в которой проводится исследование.
• Не следует слепо полагаться на статистические выводы без понимания предметной области, иначе можно прийти к статистически значимым, но ложным выводам.
• Лучше всегда сообщать P-значение, чтобы читатель мог сам сделать выводы.

Давайте разберемся в этом вопросе, используя понятные термины и структурированный подход.

1. Левосторонний Z-критерий: Если вам нужно определить p-уровень для левостороннего Z-критерия, следуйте этой формуле: p-уровень = Φ(Z-критерий)

2. Правосторонний Z-критерий: Для правостороннего Z-критерия формула выглядит так: p-уровень = 1 — Φ(Z-критерий)

3. Двусторонний Z-критерий: Если вам нужно определить p-уровень для двустороннего Z-критерия, есть две формулы:

   • Первая формула: p-уровень = 2 × Φ(−|Z-критерий|)
   • Вторая формула: p-уровень = 2 — 2 × Φ(|Z-критерий|)

Теперь давайте разберемся, когда и как использовать Z-критерий. Z-критерий применяется, когда ваша статистическая выборка имеет распределение, близкое к стандартному нормальному распределению N(0,1). Важно отметить, что это приближение будет более точным, когда у вас есть большая выборка данных (как минимум 50 наблюдений) и когда вы можете считать распределение приближенно нормальным благодаря центральной предельной теореме.

Зачастую Z-критерий используется для проверки среднего значения в выборке, различий между двумя средними значениями в двух выборках или в методе максимального правдоподобия при оценке параметров.

Теперь, когда вы знаете, как находить p-уровень при помощи Z-критерия, вы можете использовать этот метод для статистического анализа и принятия важных решений на основе данных.

Давайте разберемся в этом вопросе, используя простые и понятные термины.

1. Левосторонний t-критерий: Если вам нужно определить p-уровень для левостороннего t-критерия, следуйте этой формуле: p-уровень = cdft,d(t-статистика)

2. Правосторонний t-критерий: Для правостороннего t-критерия формула выглядит так: p-уровень = 1 — cdft,d(t-статистика)

3. Двусторонний t-критерий: Если вам нужно определить p-уровень для двустороннего t-критерия, есть две формулы:

   • Первая формула: p-уровень = 2 × cdft,d(−|t-статистика|)
   • Вторая формула: p-уровень = 2 — 2 × cdft,d(|t-статистика|)

Теперь давайте поговорим о том, когда и как использовать t-критерий. T-критерий применяется, когда ваша статистическая выборка имеет распределение, похожее на распределение стьюдента с определенным числом степеней свободы (d). Это распределение имеет форму, подобную нормальному распределению N(0,1) (симметричное и с формой колокольчика), но более «тяжелые хвосты» — точная форма зависит от параметра, называемого «степени свободы». Если степень свободы большая (>30), что часто бывает при больших выборках, распределение Стьюдента практически неотличимо от нормального распределения N(0,1).

Наиболее распространенные t-критерии используются для сравнения средних значений в выборках, когда неизвестное стандартное отклонение популяции, а также для сравнения различий между средними значениями двух популяций, где может быть равное или неравное и неизвестное стандартное отклонение. Существует также t-критерий для сравнения парных выборок, где наблюдения связаны между собой.

1. Определение критерия хи-квадрат (χ²): Критерий хи-квадрат применяется в тех случаях, когда ваша статистическая оценка следует распределению хи-квадрат (χ²).

2. Распределение хи-квадрат (χ²): Распределение хи-квадрат возникает, например, если вы суммируете квадраты переменных, каждая из которых имеет нормальное распределение N(0,1). Важно помнить проверять количество степеней свободы (degrees of freedom, df) для распределения хи-квадрат в вашей статистической оценке!

3. Как найти p-уровень для оценки по критерию хи-квадрат?: Для этого используются следующие формулы, где cdfχ²,d обозначает функцию накопленной вероятности распределения хи-квадрат с d степенями свободы:

   • Левосторонний хи-квадрат-тест: p-уровень = cdfχ²,d(χ²-статистика)

   • Правосторонний хи-квадрат-тест: p-уровень = 1 — cdfχ²,d(χ²-статистика)

   • Двусторонний хи-квадрат-тест: p-уровень = 2 × min{cdfχ²,d(χ²-статистика), 1 — cdfχ²,d(χ²-статистика)}

   (Через min{a, b} мы обозначаем минимальное из чисел a и b.)

4. Наиболее распространенные тесты, связанные с критерием хи-квадрат:

   • Тест на проверку дисперсии нормально распределенных данных: В этом случае статистика теста имеет распределение хи-квадрат с n — 1 степенью свободы, где n — это размер выборки. Это может быть односторонний или двусторонний тест.

   • Тест согласия с распределением (Goodness-of-fit test): Этот тест проверяет, соответствует ли эмпирическое (выборочное) распределение ожидаемому теоретическому распределению вероятностей. В этом случае статистика теста также подчиняется распределению хи-квадрат с k — 1 степенью свободы, где k — это количество классов, на которые разделена выборка. Это односторонний тест.

   • Тест на независимость (Independence test): Этот тест используется для определения наличия статистически значимой связи между двумя переменными. В этом случае статистика теста основана на таблице сопряженности и также подчиняется распределению хи-квадрат с (r — 1)(c — 1) степенью свободы, где r — количество строк, а c — количество столбцов в этой таблице. Это также односторонний тест.

Давайте разберемся, как определить p-уровень при использовании F-критерия, используя доступные и понятные термины.

1. Что такое F-критерий? F-критерий используется в статистике для проведения тестов, при которых статистика теста подчиняется F-распределению, также известному как распределение Фишера-Снедекора. Форма F-распределения зависит от двух параметров, называемых степенями свободы.

2. Откуда берутся степени свободы? Для понимания происхождения степеней свободы, представьте независимые случайные переменные X и Y, каждая из которых подчиняется распределению χ² с d₁ и d₂ степенями свободы соответственно. В этом случае отношение (X/d₁)/(Y/d₂) подчиняется F-распределению с (d₁, d₂)-степенями свободы. По этой причине параметры d₁ и d₂ также называются числителем и знаменателем степеней свободы.

3. Как найти p-уровень для оценки по F-критерию? Для этого используются следующие формулы, где cdfF,d₁,d₂ обозначает функцию накопленной вероятности F-распределения с (d₁, d₂)-степенями свободы:

• Левосторонний F-тест: p-уровень = cdfF,d₁,d₂(F-статистика)

• Правосторонний F-тест: p-уровень = 1 — cdfF,d₁,d₂(F-статистика)

• Двусторонний F-тест: p-уровень = 2 × min{cdfF,d₁,d₂(F-статистика), 1 — cdfF,d₁,d₂(F-статистика)}

(Через min{a, b} мы обозначаем меньшее из чисел a и b.)

4. Самые важные тесты, приводящие к F-статистикам:

• Тест на равенство дисперсий в двух нормально распределенных популяциях: В этом случае статистика теста подчиняется F-распределению с (n — 1, m — 1)-степенями свободы, где n и m — размеры выборок.

• ANOVA используется для проверки равенства средних значений в трех или более группах, происходящих из нормально распределенных популяций с равными дисперсиями. Мы получаем F-распределение с (k — 1, n — k)-степенями свободы, где k — количество групп, а n — общий размер выборки во всех группах.

• Тест на общую значимость анализа регрессии: Статистика теста имеет F-распределение с (k — 1, n — k)-степенями свободы, где n — размер выборки, а k — количество переменных (включая константу).

• Сравнение двух вложенных моделей регрессии: Статистика теста подчиняется F-распределению с (k₂ — k₁, n — k₂)-степенями свободы, где k₁ и k₂ — количество переменных в меньшей и большей моделях соответственно, а n — размер выборки.

Обратите внимание, что F-тест общей значимости является частным случаем F-теста сравнения двух вложенных моделей: он проверяет, существенно ли наша модель лучше модели без предикторов (т.е. модели с только константой).

Нет, p-уровень не может быть отрицательным. Это связано с тем, что вероятности не могут быть отрицательными, а p-уровень представляет собой вероятность того, что статистика теста соответствует определенным условиям.

Высокий p-уровень означает, что при нулевой гипотезе существует высокая вероятность того, что для другой выборки статистика теста сгенерирует значение, по меньшей мере, такое же экстремальное, как в выборке, которую вы уже имеете. Высокий p-уровень не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу.

Низкий p-уровень означает, что при нулевой гипотезе маловероятно, что для другой выборки статистика теста сгенерирует значение, по меньшей мере, такое же экстремальное, как в выборке, которую вы уже имеете. Низкий p-уровень является доказательством в пользу альтернативной гипотезы — он позволяет отвергнуть нулевую гипотезу.