Логарифмический калькулятор (логарифм)

Логарифмическая функция — это обратная функция к экспоненциальной функции. Вкратце, если a возводится в степень y и дает результат x, то логарифм x с основанием a равен y. В виде уравнений это можно записать как aʸ = x, что равносильно записи logₐ(x) = y.

Другими словами, логарифм x, или logₐ(x), показывает, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить значение x. Если x больше единицы, то логарифм также показывает, сколько раз нужно умножить a на самого себя. Также логарифм можно записать в виде:

a l o g a ( x )

x a log a ​ (x) =x

Теперь, надеюсь, вы понимаете, что такое логарифм. В следующем разделе вы можете прочитать о двух наиболее часто используемых формах логарифма.

Существует несколько баз для логарифмов, но две из них настолько часто используются, что у них есть уникальные названия: естественный логарифм и десятичный логарифм.

Естественный логарифм

Если вы хотите вычислить естественный логарифм числа, вам нужно выбрать основание, которое примерно равно 2,718281. Обычно это число обозначается буквой e в честь Леонарда Эйлера, который определил его значение в 1731 году. Соответственно, логарифм может быть представлен как logₑx, но обычно он обозначается символом ln(x). Вы также можете увидеть log(x), что также относится к той же функции, особенно в финансах и экономике. Следовательно, y = logₑx = ln(x), что эквивалентно x = eʸ = exp(y).

Один из способов понимания функции естественного логарифма — рассмотреть его в контексте сложного процента. Это процент, который рассчитывается как на первоначальную сумму, так и на накопленный процент.

Формула для ежегодного сложного процента выглядит так:

A = P(1 + r/m)ᵐᵗ,

где:

A — это значение инвестиции через t лет; P — начальная сумма; r — годовая процентная ставка (в десятичных дробях); m — количество раз, когда проценты начисляются в год или частота начисления процентов; и t — количество лет. Предположим, что вы положили деньги на год в банк, где проценты начисляются часто, то есть m — большое число. Легко понять, насколько быстро увеличивается значение m, если сравнить годовые (m = 1), месячные (m = 12), ежедневные (m = 365) или ежечасные (m = 8,760) частоты. Теперь представьте, что ваши деньги пересчитываются каждую минуту или секунду: m становится значительно большим числом.

Если вам нужно посчитать логарифм с произвольным основанием, а у вас есть только калькулятор натурального логарифма или логарифма по основанию 10, то вам нужно применить следующие правила:

Логарифм с основанием a от x равен натуральному логарифму от x, деленному на натуральный логарифм от a: logₐ(x) = ln(x) / ln(a)

Логарифм с основанием a от x равен десятичному логарифму от x, деленному на десятичный логарифм от a: logₐ(x) = lg(x) / lg(a)

Таким образом, чтобы вычислить логарифм с произвольным основанием, вам необходимо взять логарифм от числа, используя доступный вам калькулятор, и разделить его на логарифм от выбранного вами основания.

Допустим, вы хотите использовать этот инструмент как калькулятор для логарифмов по основанию 2. Чтобы вычислить логарифм любого числа, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выберите число, для которого вы хотите найти логарифм. Допустим, это число 100.
2. Выберите основание логарифма — в данном случае это число 2.
3. Найдите логарифм числа 100 по основанию 10. lg(100) = 2.
4. Найдите логарифм числа 2 по основанию 10. lg(2) = 0.30103.
5. Разделите найденные значения друг на друга: lg(100)/lg(2) = 2 / 0.30103 = 6.644.
6. Вы также можете пропустить шаги с 3 по 5 и ввести число и основание непосредственно в калькулятор логарифмов.

Исследования говорят о том, что идея логарифмов уже была известна в Индии в 8 веке. Но развитое понятие логарифмов впервые появилось в книге «Описание удивительного канона логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio), опубликованной в 1614 году. Это был результат 20-летнего исследования шотландского математика Джона Напира, который занимался астрономией и физикой и стремился упростить вычисления в своей работе.

Логарифмы — это математические функции, которые помогают упростить сложные вычисления, связанные с умножением и делением больших чисел. Идея логарифмов возникла еще в древности, но их развитие как математической концепции началось только в 17 веке благодаря работе Напира. Он создал таблицу логарифмов, которая значительно упростила вычисления в науке и технике.

Таким образом, Джон Напьер внес значительный вклад в развитие математики и наук о природе, создав таблицу логарифмов, которая является одним из самых важных математических инструментов, используемых до сих пор.

💡 Слово «логарифм» происходит от двух греческих слов: «логос», что означает «отношение», и «арифмос», что означает «число». Таким образом, логарифмы — это числа, которые относятся друг к другу как отношение.

Для нашего поколения может быть не очень просто сразу оценить изобретение логарифма, поскольку мы уже используем современные калькуляторы и компьютеры для математических вычислений. Но в 17 веке это было открытие, которое глубоко повлияло на жизнь людей. Решение математических проблем до появления логарифмов могло занять часы, дни или даже годы.

Первое значительное улучшение, которое принесли логарифмы, заключалось в том, что умножение и деление можно было заменить на сложение и вычитание. Единственным дополнительным усилием было нахождение логарифмов и антилогарифмов в таблицах.

Новый метод вычислений сыграл важную роль в астрономии. Научные исследования Напье совпали с эпохой новых достижений в астрофизике. В результате многие астрономы столкнулись с бесконечными вычислениями для определения положения планет с использованием теории солнечной системы Коперника. Из числа этих ученых был и Йоханнес Кеплер, работающий над своими знаменитыми законами движения планет.

Благодаря усилиям Напье, он смог значительно сократить свою нагрузку, которая раньше требовала близко тысячи страниц вычислений, что позволило ему уделить больше времени философским размышлениям.

Знаменитый британский математик Генри Бриггс быстро осознал возможности нового изобретения. Он переехал в Шотландию, чтобы встретиться с Напье и начать вместе искать потенциальные улучшения.

В результате, после усовершенствования исходной идеи, в 1617 году они сформулировали первую таблицу логарифмов на основе степеней числа 10. В 1624 году, после смерти Напье, Бриггс опубликовал свою книгу «Арифметика логарифмов», в которой представлены логарифмические таблицы для 30 тысяч натуральных чисел до 14 тичной десятичной разрядности. Эта форма логарифмов сегодня считается общепринятой.

В 1620 году Эдмунд Гантер изобрел линейку логарифмов – физический инструмент, который использовался для умножения и деления. Это новое математическое устройство стало популярным, и его начали улучшать. В 1622 году Уильям Отред усовершенствовал первоначальную версию инструмента, которая требовала циркуля для измерения, и создал обычный слайдерул — устройство, состоящее из двух линеек, которые скользят друг за другом.

Таким образом, Отред создал новый подход для упрощения расчетов по закону логарифмов. Слайдерулы стали стандартным вычислительным устройством в профессиях, где требовалось выполнение арифметических операций. Архитекторы, инженеры, ученые и даже космонавты полагались на этот инструмент до появления цифровой революции. Альберт Эйнштейн использовал его, а экипажи миссий «Аполлон» также брали слайдерулы с собой в космос.

По сравнению с первыми версиями компьютеров, слайдерулы имели множество преимуществ:

• Компактны и могут помещаться в кармане;
• Не требуют источника питания;
• Относительно дешевы;
• Механически надежны;
• Просты в использовании; и
• Могут решать любую числовую задачу, связанную с обычными условиями.

Теперь вам нужно проверить число 100.4449761 в таблице антилогарифмов или, альтернативно, вы можете воспользоваться нашим калькулятором антилогарифмов. Какое число является антилогарифмом числа 0.4449761 в системе счисления 10? Ответ: 2.785968.

Переписывая уравнение:

5.89×4.73≅2.785968×10^1=27.85968

Скорее всего, вышеуказанная процедура кажется сложной по сравнению с тем, что просто можно ввести в карманный калькулятор или использовать любое приложение, подобное нашему калькулятору. Чтобы показать, как мощь логарифмов может помочь вам даже в наши дни, давайте рассмотрим операцию факториала числа 100, которое является произведением всех целых чисел от 1 до 100.

100! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × 99 × 100

Если бы вы пытались решить эту задачу обычным калькулятором, вы, вероятно, не смогли бы, так как результат является огромным числом с множеством цифр.

Но с помощью логарифмов вы можете переписать операцию (с некоторым округлением) как:

ln100! = lg1 + lg2 + lg3 + … + lg100 ≅ 157.97

100! ≅ 10^0.97 × 10^157 = 9.3325 × 10^157

С помощью логарифмов мы можем эффективно справиться с сложными вычислениями, которые иначе были бы трудны для выполнения вручную или с использованием обычного калькулятора.