Квадратный корень

Мы не хотим казаться слишком самоуверенными, но лучший способ найти квадратный корень, на наш взгляд, довольно прост: воспользуйтесь калькулятором квадратных корней! Он подойдет как для использования на компьютере, так и на смартфоне, позволяя быстро определить квадратный корень заданного числа. Но что делать, если под рукой нет калькулятора? В таких случаях полезно знать несколько основных квадратных корней из «идеальных» квадратов:

• Квадратный корень из 1: √1 = 1, потому что 1 × 1 = 1;
• Из 4: √4 = 2, ведь 2 × 2 = 4;
• Из 9: √9 = 3, так как 3 × 3 = 9;
• Из 16: √16 = 4, ведь 4 × 4 = 16;
• Из 25: √25 = 5, потому что 5 × 5 = 25;
• Из 36: √36 = 6, так как 6 × 6 = 36;
• Из 49: √49 = 7, ведь 7 × 7 = 49;
• Из 64: √64 = 8, потому что 8 × 8 = 64;
• Из 81: √81 = 9, так как 9 × 9 = 81;
• Из 100: √100 = 10, ведь 10 × 10 = 100;
• Из 121: √121 = 11, потому что 11 × 11 = 121;
• Из 144: √144 = 12, так как 12 × 12 = 144.

Эти числа являются самыми простыми примерами, поскольку их квадратные корни всегда целые числа. Постарайтесь запомнить их! Но что делать, если перед вами число, квадратный корень которого не так легко определить? Существует несколько способов. Во-первых, можно попробовать методом проб и ошибок. Допустим, вам нужно найти квадратный корень из 52:

• Известно, что √49 = 7 и √64 = 8, следовательно, √52 должен быть между 7 и 8.
• Число 52 ближе к 49, значит, можно предположить, что √52 около 7.3.
• Возведя 7.3 в квадрат, получим 53.29, что больше 52. Попробуйте число поменьше, например, 7.2.
• Квадрат 7.2 равен 51.84. Это число уже близко к 52. Если такая точность вас устраивает, расчеты можно завершить. Или попробуйте уточнить результат, выбрав число между 7.2 и 7.3, например, 7.22.

Еще один метод — упростить квадратный корень, а затем использовать приближенные значения квадратных корней простых чисел (обычно округленные до двух десятичных знаков):

• √2 ≈ 1.41,
• √3 ≈ 1.73,
• √5 ≈ 2.24,
• √7 ≈ 2.65,
• √11 ≈ 3.32,
• √13 ≈ 3.61,
• √17 ≈ 4.12,
• √19 ≈ 4.34 и так далее.

Попробуем снова найти квадратный корень из 52. Его можно упростить до 2√13 (как упростить квадратный корень, вы узнаете позже), а затем подставить √13 ≈ 3.61. В итоге, умножив, получаем √52 ≈ 2 × 3.61 = 7.22. Результат получается таким же, как и методом проб и ошибок!

Операция извлечения квадратного корня из числа известна с древности. Самая ранняя глиняная табличка с точным значением квадратного корня из двух до пяти десятичных знаков √2 = 1.41421 была найдена в Вавилоне (1800 г. до н. э. — 1600 г. до н. э.). Многочисленные документы свидетельствуют о том, что квадратные корни использовались также древними египтянами, индийцами, греками и китайцами. Однако происхождение символа квадратного корня до сих пор остается предметом спекуляций.

Многие ученые считают, что квадратные корни произошли от буквы «r» — первой буквы латинского слова radix, что означает корень. Существует и другая теория, согласно которой символ квадратного корня взят из арабской буквы ج, которая стояла в своем первоначальном виде ﺟ в слове جذر — корень (арабский язык пишется справа налево). Первоначальное использование символа квадратного корня √ не включало горизонтальную «черту» над числами внутри символа квадратного корня (или радикала), √‾. Эта «черта» известна на латыни как vinculum, что означает связь. Хотя символ радикала с vinculum теперь используется повсеместно, мы часто опускаем эту верхнюю линию во многих текстах, например, в статьях в интернете. Обозначение корней высших степеней было предложено Альбертом Жираром, который разместил индекс степени внутри открывающегося знака радикала, например, ³√ или ⁴√.

Последний вопрос: почему операцию извлечения квадратного корня называют корнем, независимо от ее истинного происхождения? Объяснение становится более очевидным, если мы запишем уравнение x = ⁿ√a в другой форме: xⁿ = a. x называют корнем или радикалом, потому что это скрытая основа a. Таким образом, слово радикал не означает далеко идущий или экстремальный, а скорее основополагающий, достигающий корневой причины.

В математике к основным операциям с числами относят сложение, вычитание, умножение и деление. Однако иногда к этому списку добавляют более сложные действия, такие как извлечение квадратных корней, возведение в степень, логарифмы и даже тригонометрические функции (например, синус и косинус). В этой статье мы сосредоточимся только на определении квадратного корня.

Квадратный корень из числа x — это любое число y, квадрат которого y² (умножение y на самого себя) равен исходному числу x. Таким образом, формулу квадратного корня можно выразить как:

√x = y ⟺ x = y²,

где ⟺ — это математический символ, означающий «тогда и только тогда». Каждое положительное действительное число всегда имеет два квадратных корня: первый положительный, второй отрицательный. Однако на практике обычно используют положительный корень. Единственное число, имеющее один квадратный корень, — это ноль, поскольку √0 = 0, и ноль не является ни положительным, ни отрицательным.

Существует и другая удобная запись квадратных корней, которая может быть более удобной в сложных расчетах. Эта альтернативная формула гласит, что квадратный корень числа — это число, возведенное в степень одной второй:

√x = x(1/2) = x^0.5

В геометрической интерпретации квадратный корень из площади квадрата дает длину его стороны. Вот почему в названии √ есть слово «квадрат». Похожая ситуация с кубическим корнем, ∛. Если взять кубический корень из объема куба, вы получите длину его ребер. В то время как квадратные корни используются при рассмотрении площадей поверхностей, кубические корни полезны для определения величин, связанных с объемом, например, плотности.

Давайте сначала разберемся, какие квадратные корни можно упростить. Для этого возьмите число под знаком корня и найдите его делители. Если среди них есть квадратные числа (4, 9, 16, 25 и так далее), тогда квадратный корень можно упростить. Почему эти числа называют квадратными? Они выражаются как 2², 3², 4² и так далее. Согласно определению, их называют «совершенными квадратами». Рассмотрим несколько примеров:

Можно ли упростить √27? Разложив 27 на множители, получим 1, 3, 9, 27. Здесь есть 9! Это значит, что √27 можно упростить.

А как насчет √15? Делители 15 — это 1, 3, 5 и 15. Среди них нет совершенных квадратов, значит, этот квадратный корень упростить нельзя.

Итак, как упростить квадратные корни? Воспользуемся свойством квадратного корня, о котором мы говорили ранее:

√x = x(1/2)

Мы можем переключаться между этими двумя формами квадратного корня. В частности, мы помним, что умножение двух чисел, возведенных в степень, эквивалентно умножению этих чисел с одинаковыми степенями. Таким образом, мы можем написать:

(x × y)(1/2) = x(1/2) × y(1/2) ⟺ √(x × y) = √x × √y,

Как применить эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является совершенным квадратом, но может содержать совершенный квадрат среди своих множителей. То есть его можно представить как умножение двух чисел, одно из которых — совершенный квадрат, например, 45 = 9 × 5 (9 — совершенный квадрат). Наличие хотя бы одного множителя-совершенного квадрата необходимо для упрощения квадратного корня. Далее вы, вероятно, знаете, что будет следующим шагом. Нужно поместить это умножение под знак корня. Например:

√45 = 45(1/2) = (9 × 5)(1/2) = 9(1/2) × 5(1/2) = √9 × √5 = 3√5.

Вы успешно упростили квадратный корень! Конечно, необязательно записывать все эти вычисления. Главное помнить, что квадратный корень эквивалентен степени одна вторая, что позволяет сократить расчеты. Давайте попрактикуемся в упрощении квадратных корней на других примерах:

Как упростить квадратный корень из 27?

√27 = √(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3

Как упростить квадратный корень из 8?

√8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2

Как упростить квадратный корень из 144?

√144 = √(4 × 36) = √4 × √36 = 2 × 6 = 12

В последнем примере упрощение квадратного корня не требовалось, так как 144 — это совершенный квадрат. Но мы хотели показать, что с помощью процесса упрощения можно легко вычислить квадратные корни совершенных квадратов, что особенно полезно при работе с большими числами.

Теперь вы можете задаться вопросом, как упростить корни высших степеней, например, кубические корни. Процесс очень похож на упрощение квадратных корней, но в случае кубических корней нужно найти хотя бы один множитель, являющийся совершенным кубом, например, 8 = 2³, 27 = 3³ и так далее. Затем ваше число делится на две части и помещается под знак кубического корня. Рассмотрим пример упрощения ³√192:

∛192 = ∛(64 × 3) = ∛64 × ∛3 = 4∛3

Сначала это может показаться сложным, но после некоторой практики вы сможете упрощать корни в уме. Поверьте мне!

К сожалению, сложение и вычитание квадратных корней не так просто, как работа с обычными числами. Например, из того, что 2 + 3 = 5, не следует, что √2 + √3 равно √5. Это ошибка! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть две разные формы: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего! У вас все еще будет один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. А что если попробовать добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3🔺 + 5🔺? Вы получите восемь треугольников 8🔺.

Сложение квадратных корней работает очень похожим образом. Результат сложения √2 + √3 будет все еще √2 + √3. Это нельзя упростить дальше. Однако, если под корнем одинаковые числа, мы можем складывать их как обычные числа (или треугольники). Например, 3√2 + 5√2 равно 8√2. То же самое касается и вычитания квадратных корней. Давайте посмотрим на несколько примеров, иллюстрирующих это свойство:

• Что такое 6√17 + 5√17? Ответ: 11√17;
• Что такое 4√7 — 7√7? Ответ: -3√7;
• Что такое 2√2 + 3√8? Ответ: 8√2, потому что √8 упрощаем до 2√2;
• Что такое √45 — √20? Ответ: √5, потому что √45 упрощаем до 3√5, а √20 до 2√5;
• Что такое 7√13 + 2√22? Ответ: нельзя упростить дальше;
• Что такое √3 — √18? Ответ: √3 — 3√2, упрощаем √18 до 3√2.

Теперь, когда сложение квадратных корней стало для вас простым, перейдем к следующему шагу. Что насчет умножения и деления квадратных корней? Не пугайтесь! На самом деле, вы уже делали это, упрощая квадратные корни. Умножение квадратных корней основано на свойстве:

√x = x^(1/2)

Помните, как умножают числа с одинаковой степенью? Напомню:

xⁿ × yⁿ = (x × y)ⁿ, и, следовательно,

√x × √y = √(x × y).

В отличие от сложения, вы можете умножать любые два квадратных корня. Несколько примеров прояснят этот вопрос:

• Что такое √3 × √2? Ответ: √6;
• Что такое 2√5 × 5√3? Ответ: 10√15, потому что умножение коммутативно;
• Что такое 2√6 × 3√3? Ответ: 6√18, упрощаем до 18√2.

Деление квадратных корней почти такое же, только заменяем умножение на деление. Однако деление не является коммутативной операцией! Вам нужно отдельно вычислить числа перед квадратными корнями и числа под корнями. Вот несколько практических примеров:

• Что такое √15 / √3? Ответ: √5;
• Что такое 10√6 / 5√2? Ответ: 2√3;
• Что такое 6√2 / 3√5? Ответ: 2√(0.4), переводим простую дробь 2/5 в десятичную 0.4.

Вначале это может показаться сложным, но после некоторой практики вы сможете с легкостью упрощать квадратные корни.

Расчет квадратного корня из степени или дроби может показаться сложным. Но с знаниями, полученными в предыдущем разделе, это окажется проще, чем вы ожидали! Начнем с квадратных корней из степеней. В этом случае удобнее использовать альтернативную форму квадратного корня √x = x^(1/2). Помните правило степеней? Если нет, вот краткое напоминание:

(x^n)^m = x^(n × m),

где n и m — любые действительные числа. Теперь, если вместо m подставить 1/2, вы получите квадратный корень:

√(x^n) = (x^n)^(1/2) = x^(n/2),

и так находится квадратный корень из степени. Возвращаясь к степеням, приведенное выше уравнение очень похоже на функцию плотности стандартного нормального распределения, широко используемую в статистике.

Если вы все еще сомневаетесь в извлечении квадратных корней из степеней, вот несколько примеров:

• Квадратный корень из 2^4: √(2^4) = (2^4)^(1/2) = 2^(4/2) = 2^2 = 4;
• Квадратный корень из 5^3: √(5^3) = (5^3)^(1/2) = 5^(3/2); и
• Квадратный корень из 4^5: √(4^5) = (4^5)^(1/2) = 4^(5/2) = (2^2)^(5/2) = 2^5 = 32.

Как видите, иногда невозможно получить простой результат, как в первом примере. Однако, в третьем примере мы использовали трюк, выразив 4 как 2^2. Этот подход часто может упростить более сложные уравнения.

А что насчет квадратных корней из дробей? Обратите внимание на предыдущий раздел, где мы говорили о делении квадратных корней. Там вы найдете следующее соотношение, которое должно все объяснить:

(x / y)^(1/2) ⟺ √x / √y = √(x / y),

где x / y — это дробь. Ниже приведены некоторые примеры квадратных корней из дроби:

• Квадратный корень из 4/9: √(4/9) = √4 / √9 = 2/3;
• Квадратный корень из 1/100: √(1/100) = √1 / √100 = 1/10; и
• Квадратный корень из 1/5: √(1/5) = √1 / √5 = 1/√5 = √5/5.

Оставлять корни в знаменателе — не очень хорошая привычка. Вот почему мы избавились от него в последнем примере, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число (мы всегда можем это сделать, так как число, на которое мы умножаем, равно 1), в данном случае, на √5.

Производная функции показывает, насколько быстро изменяется эта функция в зависимости от ее аргумента. Один из простейших примеров в физике — это положение объекта и его скорость (скорость изменения положения).

Представим, что функция x(t) описывает, как изменяется расстояние движущегося автомобиля от определенной точки со временем t. Знаете ли вы, что определяет, насколько быстро изменяется пройденное вами расстояние? Ответ — скорость автомобиля! Таким образом, производная от положения x(t) — это скорость v(t) (скорость тоже может зависеть от времени). Чтобы обозначить производную, обычно используют апостроф v(t) = x'(t) или символ производной v(t) = dx(t)/dt.

Производная общей функции f(x) не всегда легко вычисляется. Однако в некоторых случаях, если функция имеет определенный вид, у нас есть формулы. Например, если

f(x) = x^n,

где n — любое действительное число, производная выглядит так:

f'(x) = n × x^(n-1).

Это может и не казаться очевидным, но отвечает на вопрос о том, что такое производная квадратного корня. Помните альтернативную (экспоненциальную) форму квадратного корня? Напомним вам:

√x = x^(1/2).

Вы видите, что в этом случае n = 1/2, так что производная квадратного корня будет:

(√x)’ = (x^(1/2))’ = 1/2 × x^(-1/2) = 1/(2√x).

Поскольку число в отрицательной степени равно одному, деленному на это число, вычисление производной будет включать дроби. У нас есть инструмент, который может быть важен при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Это калькулятор НОК, который показывает, как найти наименьшее общее кратное.

Производная квадратного корня необходима для получения коэффициентов в так называемом разложении Тейлора. Мы не хотим углубляться в детали, так что вкратце, ряд Тейлора позволяет аппроксимировать различные функции полиномами, которые гораздо проще вычислить. Например, разложение Тейлора для √(1 + x) в точке x = 0 задается как:

√(1 + x) = 1 + 1/2 × x — 1/8 × x^2 + 1/16 × x^3 — 5/128 × x^4 + …,

что справедливо для -1 ≤ x ≤ 1. Хотя в вышеупомянутом выражении бесконечное количество членов, для приближенного значения можно использовать всего несколько первых. Давайте попробуем! С x = 0.5 и первыми пятью членами получаем:

√(1.5) = 1 + 1/2 × 0.5 — 1/8 × 0.25 + 1/16 × 0.125 — 5/128 × 0.0625,

√(1.5) ≈ 1.2241,

а реальное значение, полученное с помощью нашего калькулятора, — √(1.5) ≈ 1.2247. Достаточно близко!

Это было много математики и уравнений. Для тех, кто достаточно упорен, мы подготовили следующий раздел, который объясняет, как вычислить квадратный корень из отрицательного числа.

Вероятно, в школе вам говорили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует. Это действительно так, если рассматривать только вещественные числа. Однако давным-давно, для выполнения сложных расчетов, математикам пришлось ввести более общий набор чисел — комплексные числа. Они выражаются в следующей форме:

x = a + b × i,

где x — комплексное число с вещественной частью a и мнимой частью b. То, что отличает комплексное число от вещественного, — это мнимая единица i. Вот некоторые примеры комплексных чисел: 2 + 3i, 5i, 1.5 + 4i и 2. Вас может удивить присутствие здесь числа 2, которое является вещественным числом. Да, это так, но это также комплексное число, где b = 0. Комплексные числа являются обобщением вещественных чисел.

Наверное, мнимая единица i до сих пор остается для вас загадкой. Что это вообще такое? Хотя это может показаться странным, она определяется следующим уравнением:

i = √(-1),

и это всё, что вам нужно для вычисления квадратного корня любого числа, будь оно положительным или нет. Давайте рассмотрим некоторые примеры:

• Квадратный корень из -9: √(-9) = √(-1 × 9) = √(-1)√9 = 3i;
• Квадратный корень из -13: √(-13) = √(-1 × 13) = √(-1)√13 = i√13; и
• Квадратный корень из -49: √(-49) = √(-1 × 49) = √(-1)√49 = 7i.

Просто, не так ли? С кубическим корнем такой проблемы не возникает, поскольку отрицательное число можно получить, умножив три одинаковых отрицательных числа (чего не сделаешь с двумя отрицательными числами). Например:

³√(-64) = ³√[(-4)×(-4)×(-4)] = -4.

Вот и все, что вам нужно знать о квадратных корнях!

Действительно, каждое положительное число обладает двумя квадратными корнями: один из них положительный, а второй — такой же по модулю, но отрицательный. Это связано с тем, что произведение двух отрицательных чисел дает положительный результат.

Представьте себе, что у нас есть число 4. Его квадратные корни — это 2 и -2. Умножив 2 на 2, мы получаем 4, и аналогично, умножая -2 на -2, снова получаем 4. Таким образом, оба эти числа являются корнями для числа 4, подтверждая, что положительные числа действительно имеют два квадратных корня.

Это знание полезно не только для решения математических задач, но и для понимания основ математического анализа, где такое свойство квадратных корней играет важную роль.

Нет, квадратный корень из 2 не относится к рациональным числам. Это связано с особенностью числа 2: когда мы пытаемся представить его в виде дроби 2/1, мы сталкиваемся с тем, что оно не может быть выражено через дробь с целыми числами в числителе и знаменателе таким образом, чтобы их квадраты давали ровно 2.

Проще говоря, рациональные числа — это те числа, которые могут быть записаны как дробь, где и числитель, и знаменатель — целые числа (причем знаменатель не равен нулю). В случае с квадратным корнем из 2 мы не можем найти такие целые числа, которые, будучи возведенными в квадрат, дадут нам точно 2. Это делает квадратный корень из 2 примером иррационального числа, то есть числа, которое не может быть точно выражено рациональной дробью.

Этот факт не только интересен с математической точки зрения, но и подчеркивает богатство числовой системы, включая иррациональные числа, которые играют ключевую роль в математике и ее приложениях.

Производная квадратного корня из x равняется 1, деленному на 2, умноженному на квадратный корень из x, или же можно записать как 1/(2√x). Это правило находит свое объяснение в том, что квадратный корень из x математически представляется как x в степени 1/2, а дальше следует процесс дифференцирования.

Почему это так? Когда мы берем производную от x в степени 1/2, мы применяем основное правило дифференцирования степенных функций: умножаем степень на коэффициент перед x, а затем уменьшаем степень на единицу. В случае с квадратным корнем из x, этот процесс приводит нас к формуле 1/(2√x), что и является производной квадратного корня из x.

Этот факт имеет важное значение в математике и ее приложениях, позволяя нам понять, как меняется скорость изменения функции квадратного корня из x по отношению к изменению самого x. Визуально это можно представить, как насколько быстро или медленно изменяется форма графика функции квадратного корня при перемещении вдоль оси x.

Знание о том, как находить производные, открывает двери к более глубокому пониманию многих процессов в физике, инженерии и других областях науки, где важно знать скорость изменений.

Разложение квадратного трехчлена на множители — это процесс, при котором квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0, где $a$, $b$, и $c$ — константы, а $x$ — переменная, преобразуется в произведение двух линейных выражений. Этот метод часто используется для упрощения решения квадратных уравнений. Давайте рассмотрим пошаговый процесс разложения квадратного трехчлена на множители.

Шаг 1: Найдите корни уравнения

Для начала необходимо найти корни квадратного уравнения, то есть значения $x$, при которых уравнение обращается в ноль. Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}x1,2​=2a−b±b2−4ac​​

Шаг 2: Выразите трехчлен через корни

После нахождения корней x_1x1​ и x_2x2​, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения двух линейных множителей:

ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2)ax2+bx+c=a(x−x1​)(x−x2​)

Пример

Рассмотрим квадратный трехчлен x^2 — 5x + 6x2−5x+6. Для начала найдем его корни:

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 — 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}x1,2​=2⋅15±(−5)2−4⋅1⋅6​​=25±25−24​​=25±1​

Отсюда получаем два корня: x_1 = 3x1​=3 и x_2 = 2x2​=2.

Теперь выразим трехчлен через эти корни:

x^2 — 5x + 6 = (x — 3)(x — 2)x2−5x+6=(x−3)(x−2)

Таким образом, квадратный трехчлен x^2 — 5x + 6x2−5x+6 успешно разложен на множители.

Разложение квадратного трехчлена на множители позволяет упростить множество задач, связанных с квадратными уравнениями, включая нахождение корней, интегрирование и дифференцирование. Важно понимать и владеть этим методом, чтобы успешно применять его в математике и смежных дисциплинах.

Выражения, содержащие квадратные корни, часто встречаются в математике, и работа с ними требует понимания основных правил их упрощения. Вот пример такого выражения и пошаговое объяснение, как его упростить:

Пример выражения:

\sqrt{18} + 2\sqrt{2} — \sqrt{8}18​+22​−8​

Шаг 1: Разложение под корнем на простые множители

Разложим числа под корнем на множители, чтобы выявить полные квадраты:

• \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}18​=9⋅2​=9​⋅2​=32​
• \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}8​=4⋅2​=4​⋅2​=22​

Шаг 2: Подстановка упрощенных выражений

Подставляем упрощенные выражения обратно в исходное: 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} — 2\sqrt{2}32​+22​−22​

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь, когда мы имеем дело с корнями из одинаковых чисел, мы можем складывать и вычитать их, как обычные числа: 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} — 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}32​+22​−22​=32​

Итоговое упрощенное выражение:

3\sqrt{2}32​

Работа с выражениями, содержащими квадратные корни, требует внимательности к деталям и понимания того, как разложить числа на множители, чтобы найти полные квадраты и упростить выражение. Ключевым моментом здесь является умение распознавать и использовать полные квадраты для упрощения корней, что позволяет значительно упростить выражение и сделать его более понятным.