Парадокс двух конвертов

Крылов Николай Учеба и наука Оставить комментарий 10 раз воспользовались

Теория вероятностей и принятие решений

Парадокс двух конвертов: Аудитор мат. ожидания

Разрушаем иллюзию выигрыша 125% и тестируем реальное математическое ожидание на симуляции Монте-Карло.

Базовая минимальная ставка (₽)

Введите сумму больше нуля

Один конверт содержит X, второй 2X.

Количество независимых раундов Генерирует честную выборку равновероятных конвертов.

Распределение банкролла организатора

В чем иллюзия формулы?

Классический софизм подменяет переменную: если в вашем конверте лежит A, утверждается, что в другом с шансом 50% лежит 2A или A/2.

          E = 0.5 × 2A + 0.5 × 0.5A = 1.25A (+25%)
        

Почему это обман: Нельзя одной буквой A обозначать разные величины. Если меньшая сумма равна S, то в конвертах лежат S и 2S. Выбрав конверт наугад, вы с вероятностью 1/2 получаете +S или -S при обмене. Истинное среднее математическое ожидание строго равно 0.

Готово к расчету

Нажмите кнопку «Рассчитать и запустить симуляцию», чтобы проверить гипотезу на тысячах раундов.

Практический эксперимент

В одном конверте сумма S, во втором — ровно 2S. Выберите конверт, посмотрите сумму и решите: рискнуть обменять или забрать то, что выпало?

Конверт №1 ?

Конверт №2 ?

Шаг 1: Нажмите на любой конверт, чтобы вскрыть его

Статистика вашей текущей сессии:

Сыграно раундов: 0 Забран больший конверт: 0 (0%) Итоговый баланс: 0 ₽

В чем фундаментальный математический сбой?

Парадокс двух конвертов возникает из-за неправомерного использования несобственного равномерного априорного распределения (improper uniform prior). Чтобы для абсолютно любого открытого числа X шансы получить 2X или X/2 были строго 50/50, в мире должно существовать бесконечное количество денег, распределенное с равной вероятностью от 0 до бесконечности.

Закон ограниченного банка: У любого реального человека или казино есть максимальный лимит M. Если вам попалась сумма X > M/2, в соседнем конверте с вероятностью 100% лежит сумма в 2 раза меньше (X/2). Никаких 2X там быть не может. При корректном подсчете условных вероятностей по формуле Байеса выигрыш от смены равен строго нулю.

Как реально обойти систему: Теорема Томаса Ковера (1987)

Существует ли математический трюк, позволяющий забирать больший конверт чаще чем в 50% случаев, вообще не зная заложенных сумм? Да, это рандомизированное правило выбора Ковера.

Стратегия Ковера: Перед открытием конверта загадайте случайное число T (порог) по непрерывному вероятностному закону. Откройте первый конверт. Если там сумма больше T — оставляйте. Если сумма меньше или равна T — меняйте.

Если порог T случайно окажется строго между суммами S и 2S, вы гарантированно выиграете больший конверт. В остальных случаях шанс равен 50%. В итоге общая вероятность победы становится строго P > 0.5!

Отчет скопирован в буфер обмена

Отказ от ответственности

SAS инструменты Сайт с 1000 ми полезных инструментов и калькуляторов SAS

Парадокс двух конвертов