Эквивалентные дроби

Эквивалентная дробь – это дробь, которая имеет ту же самую ценность или величину, что и другая дробь, даже если числитель и знаменатель у них разные. Эквивалентные дроби представляют одну и ту же часть целого, но записаны по-разному.

Примеры эквивалентных дробей:

1. 1/2 и 2/4

   • Если вы возьмете круг и разделите его на две равные части, каждая часть будет представлять 1/2. Если тот же круг разделить на четыре равные части, каждая из двух частей будет представлять 2/4. В обоих случаях вы имеете дело с половиной круга.

2. 3/6 и 1/2

   • 3/6 можно упростить до 1/2, так как если вы разделите числитель и знаменатель на их общий делитель (3), получите 1/2.

Как найти эквивалентные дроби:

Чтобы найти эквивалентные дроби, вы можете умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число. Это число должно быть больше нуля.

Пример умножения:

• Для дроби 1/3:
  • Умножаем числитель и знаменатель на 2: 1 * 2 / 3 * 2 = 2/6.
  • Умножаем числитель и знаменатель на 3: 1 * 3 / 3 * 3 = 3/9.
  • Оба результата – 2/6 и 3/9 – эквивалентны 1/3.

Пример деления:

• Для дроби 4/8:
  • Делим числитель и знаменатель на 2: 4 ÷ 2 / 8 ÷ 2 = 2/4.
  • Делим числитель и знаменатель на 4: 4 ÷ 4 / 8 ÷ 4 = 1/2.
  • Оба результата – 2/4 и 1/2 – эквивалентны 4/8.

Почему это важно:

Эквивалентные дроби полезны для:

• Упрощения дробей.
• Сравнения и упорядочивания дробей.
• Выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления дробей.

Понимание эквивалентных дробей помогает в математике, науке, кулинарии и многих других областях, где важны точные расчеты и пропорции.

Проверка эквивалентности двух дробей помогает убедиться, что они представляют одну и ту же часть целого, даже если числитель и знаменатель разные. Рассмотрим несколько способов проверки эквивалентности дробей.

Способ 1: Умножение крест-накрест

1. Пример: Проверим, эквивалентны ли дроби 2/3 и 4/6.
2. Умножьте числитель первой дроби на знаменатель второй дроби: $2\times 6=12$.
3. Умножьте знаменатель первой дроби на числитель второй дроби: $3\times 4=12$.
4. Если результаты равны (12 = 12), дроби эквивалентны.

Формула: ab=cd→a×d=b×c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow a \times d = b \times cba​=dc​→a×d=b×c

Пример: 23 и 46\frac{2}{3} \, и \, \frac{4}{6}32​и64​ $2\times 6=3\times 4$ $12=12$ Дроби эквивалентны.

Способ 2: Упрощение до наименьших членов

1. Пример: Проверим, эквивалентны ли дроби 6/8 и 3/4.
2. Упростите обе дроби до наименьших членов:
   • Для 6/8: числитель и знаменатель делятся на 2: 6÷28÷2=34\frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}8÷26÷2​=43​.
   • Для 3/4: дробь уже в наименьших членах.
3. Если обе дроби после упрощения одинаковы (3/4 = 3/4), дроби эквивалентны.

Способ 3: Приведение к общему знаменателю

1. Пример: Проверим, эквивалентны ли дроби 1/2 и 2/4.
2. Найдите общий знаменатель для обеих дробей. В данном случае общий знаменатель – 4.
   • Приведите обе дроби к этому знаменателю:
     • 12\frac{1}{2}21​: умножаем числитель и знаменатель на 2: 1×22×2=24\frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}2×21×2​=42​.
     • 24\frac{2}{4}42​: уже имеет знаменатель 4.
3. Если дроби одинаковы после приведения к общему знаменателю (2/4 = 2/4), дроби эквивалентны.

Пример проверки эквивалентности

Проверим, эквивалентны ли дроби 3/9 и 1/3:

1. Умножение крест-накрест:

   • $3\times 3=9\times 1$
   • $9=9$
   • Дроби эквивалентны.

2. Упрощение до наименьших членов:

   • 39\frac{3}{9}93​: числитель и знаменатель делятся на 3: 3÷39÷3=13\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}9÷33÷3​=31​.
   • 13\frac{1}{3}31​: уже в наименьших членах.
   • Дроби эквивалентны.

3. Приведение к общему знаменателю:

   • Общий знаменатель – 9.
   • Приведем дроби:
     • 13\frac{1}{3}31​: умножаем числитель и знаменатель на 3: 1×33×3=39\frac{1 \times 3}{3 \times 3} = \frac{3}{9}3×31×3​=93​.
     • 39\frac{3}{9}93​: уже имеет знаменатель 9.
   • Дроби эквивалентны.

Эти способы помогут вам легко и точно проверять эквивалентность дробей.