Парадокс отеля Гильберта

В чём подвох и почему это работает в реальности математики?

В обычной жизни отель на 100 мест при 100 постояльцах полон абсолютно: 100 + 1 = 101, и свободных мест нет. Но бесконечность — это не колоссально большое число, а непрерывный процесс и особое свойство множества.

Множество номеров отеля — счётно-бесконечно (ℵ₀). Добавление к нему любого конечного числа N или счётного множества ℵ₀ не меняет общую мощность: ℵ₀ + N = ℵ₀ и ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀. Поскольку у натуральных чисел нет «последнего номера», ни один переселяемый гость не останется на улице — для каждого найдётся уникальный номер.