Калькулятор объема

Объем — это количественная оценка трехмерного пространства, занимаемого веществом. Единицей измерения объема в системе СИ является кубический метр, или м3. По соглашению объем контейнера обычно определяется его вместимостью и количеством жидкости, которую он способен вместить, а не объемом пространства, которое занимает фактический контейнер. Объемы многих форм могут быть рассчитаны с помощью четко определенных формул. В некоторых случаях более сложные формы могут быть разбиты на более простые агрегированные формы, и сумма их объемов используется для определения общего объема. Объемы других, еще более сложных фигур могут быть рассчитаны с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы фигуры. Помимо этого, формы, которые не могут быть описаны известными уравнениями, могут быть оценены с помощью математических методов, таких как метод конечных элементов. В качестве альтернативы, если плотность вещества известна и является однородной, объем может быть рассчитан с использованием его веса. Этот калькулятор вычисляет объемы для некоторых наиболее распространенных простых форм.

Сфера

Сфера — это трехмерный аналог двумерного круга. Это идеально круглый геометрический объект, который с математической точки зрения представляет собой набор точек, равноудаленных от заданной точки в ее центре, где расстояние между центром и любой точкой на сфере равно радиусу r. Вероятно, наиболее известным сферическим объектом является идеально круглый шар. В математике существует различие между шаром и сферой, где шар представляет собой пространство, ограниченное сферой. Независимо от этого различия, шар и сфера имеют одинаковый радиус, центр и диаметр, и вычисление их объемов одинаково. Как и в случае с кругом, самый длинный отрезок, соединяющий две точки сферы через ее центр, называется диаметром d. Уравнение для расчета объема сферы приведено ниже:

ПРИМЕР: Клэр хочет наполнить уксусом идеально сферический водяной шар радиусом 0,15 фута, чтобы использовать его в борьбе с водяным шаром против ее заклятого врага Хильды в ближайшие выходные. Необходимый объем уксуса можно рассчитать, используя приведенное ниже уравнение:

объем = 4/3 × π × 0.15³ = 0.141 ft³

Конус

Конус представляет собой трехмерную форму, которая плавно сужается от своего обычно круглого основания к общей точке, называемой вершиной. Математически конус образован подобно кругу набором отрезков, соединенных с общей центральной точкой, за исключением того, что центральная точка не входит в плоскость, содержащую круг (или какое-либо другое основание). На этой странице рассматривается только случай конечного прямого кругового конуса. Конусы, состоящие из полулиний, некруглых оснований и т. д., которые простираются до бесконечности, рассматриваться не будут. Уравнение для расчета объема конуса выглядит следующим образом:

где r – радиус, а h – высота конуса.

ПРИМЕР: Бела полна решимости уйти из магазина мороженого с хорошо потраченными с трудом заработанными 5 долларами. Хотя она предпочитает обычные сахарные рожки, вафельные рожки, бесспорно, крупнее. Она определяет, что на 15 % предпочитает обычные сахарные рожки вафельным рожкам, и ей необходимо определить, превышает ли потенциальный объем вафельного рожка на ≥ 15 % объем сахарного рожка. Объем вафельного рожка с круглым основанием радиусом 1,5 дюйма и высотой 5 дюймов можно рассчитать с помощью приведенного ниже уравнения:

объем = 1/3 × π × 1.5² × 5 = 11.781 in³

Бела также вычисляет объем сахарного рожка и обнаруживает, что разница составляет <15%, и решает купить сахарный рожок. Теперь все, что ей нужно сделать, это использовать свою ангельскую детскую привлекательность, чтобы заставить персонал опустошить контейнеры с мороженым в ее рожок.

Куб

Куб является трехмерным аналогом квадрата и представляет собой объект, ограниченный шестью квадратными гранями, три из которых встречаются в каждой из его вершин и все перпендикулярны соответствующим смежным граням. Куб является частным случаем многих классификаций фигур в геометрии, включая квадратный параллелепипед, равносторонний кубоид и правильный ромбоэдр. Ниже приведено уравнение для расчета объема куба:

объем = a³
где a – длина ребра куба.

ПРИМЕР: Боб, родившийся в Вайоминге (и никогда не покидавший штат), недавно посетил родину своих предков в Небраске. Потрясенный великолепием Небраски и окружающей средой, непохожей ни на что другое, с чем он когда-либо сталкивался ранее, Боб понял, что ему нужно привезти часть Небраски домой с собой. У Боба кубический чемодан с краями длиной 2 фута, и он вычисляет объем почвы, который он может унести с собой домой, следующим образом:

объем = 2³ = 8 ft³

Цилиндр

Цилиндр в его простейшей форме определяется как поверхность, образованная точками на фиксированном расстоянии от заданной оси прямой линии. В обычном использовании, однако, «цилиндр» относится к правильному круглому цилиндру, где основания цилиндра представляют собой окружности, соединенные через их центры осью, перпендикулярной плоскостям его оснований, с заданной высотой h и радиусом r. Уравнение для расчета объема цилиндра показано ниже:

объем = πr²h
где r – радиус, а h – высота резервуара.

ПРИМЕР: Николай хочет построить замок из песка в гостиной своего дома. Поскольку он является твердым сторонником переработки отходов, он нашел три цилиндрические бочки с незаконной свалки и очистил их от химических отходов, используя средство для мытья посуды и воду. Каждая бочка имеет радиус 3 фута и высоту 4 фута, и Николай определяет объем песка, который может вместить каждая, используя приведенное ниже уравнение:

объем = π × 3² × 4 = 113.097 ft³

Он успешно строит замок из песка в своем доме, и в качестве дополнительного бонуса ему удается экономить электроэнергию на ночном освещении, так как его замок из песка светится ярко-зеленым в темноте.

Прямоугольный резервуар

Прямоугольный резервуар представляет собой обобщенную форму куба, стороны которого могут иметь различную длину. Он ограничен шестью гранями, три из которых сходятся в его вершинах и все перпендикулярны соответствующим смежным граням. Уравнение для расчета объема прямоугольника показано ниже:

объем = длина × ширина × высота

ПРИМЕР: Дарби любит торт. Она ходит в спортзал по 4 часа в день, каждый день, чтобы компенсировать свою любовь к тортам. Она планирует пройти по тропе Калалау на Кауаи, и, хотя Дарби в отличной форме, она беспокоится о своей способности пройти тропу из-за отсутствия торта. Она решает упаковать только самое необходимое и хочет наполнить свой идеально прямоугольный пакет длиной, шириной и высотой 4 фута, 3 фута и 2 фута соответственно тортом. Точный объем торта, который она может поместить в свою упаковку, рассчитывается ниже:

объем = 2 × 3 × 4 = 24 ft³

Капсула

Капсула представляет собой трехмерную геометрическую форму, состоящую из цилиндра и двух полусферических концов, где полусфера представляет собой половину сферы. Отсюда следует, что объем капсулы можно рассчитать, комбинируя уравнения объема для сферы и прямого кругового цилиндра:

где r – радиус, а h – высота цилиндрической части.

ПРИМЕР: Учитывая капсулу радиусом 1,5 фута и высотой 3 фута, определите объем m&m’s из расплавленного молочного шоколада, который Джо может унести в капсуле времени, которую он хочет закопать для будущих поколений в своем путешествии самопознания через мир. Гималаи:

объем = π × 1.5² × 3 + 4/3 ×π ×1.5³ = 35.343 ft³

Сферическая крышка

Сферическая шапка — это часть сферы, отделенная от остальной части сферы плоскостью. Если плоскость проходит через центр сферы, сферическая шапка называется полусферой. Существуют и другие различия, в том числе сферический сегмент, где сфера разделена на две параллельные плоскости и два разных радиуса, где плоскости проходят через сферу. Уравнение для расчета объема сферического колпачка получено из уравнения для сферического сегмента, где второй радиус равен 0. Относительно сферического колпака, показанного в калькуляторе:

Имея два значения, предоставленный калькулятор вычисляет третье значение и объем. Уравнения для преобразования между высотой и радиусом показаны ниже:

Учитывая r и R: h = R ± √R² — r²

Учитывая R и h: r = √2Rh — h²
где r – радиус основания, R – радиус сферы, а h – высота сферического колпачка.

ПРИМЕР: Джек действительно хочет победить своего друга Джеймса в игре в гольф, чтобы произвести впечатление на Джилл, и вместо того, чтобы тренироваться, он решает саботировать мяч для гольфа Джеймса. Он отрезает идеальный сферический колпачок от верхней части мяча для гольфа Джеймса и должен рассчитать объем материала, необходимого для замены сферического колпачка и смещения веса мяча для гольфа Джеймса. Учитывая, что мяч для гольфа Джеймса имеет радиус 1,68 дюйма, а высота сферической крышки, которую срезал Джек, составляет 0,3 дюйма, объем можно рассчитать следующим образом:

объем = 1/3 × π × 0.3² (3 × 1.68 — 0.3) = 0.447 in³

К несчастью для Джека, за день до игры Джеймс получил новую партию мячей, и все усилия Джека оказались напрасными.

Усеченный конус

Усеченный конус — это часть твердого тела, которая остается, когда конус разрезается двумя параллельными плоскостями. Этот калькулятор специально вычисляет объем для правильного круглого конуса. Типичные конические усеченные формы, встречающиеся в повседневной жизни, включают абажуры, ведра и некоторые стаканы для питья. Объем прямоугольного усеченного конуса рассчитывается по следующему уравнению:

где r и R – радиусы оснований, h – высота усеченного конуса

ПРИМЕР: Бета успешно добыла немного мороженого в сахарном рожке и только что съела его таким образом, что мороженое остается упакованным внутри рожка, а поверхность мороженого находится на одном уровне и параллельно плоскости отверстия рожка. Она собирается начать есть свой рожок и оставшееся мороженое, когда ее брат хватает ее рожок и откусывает часть нижней части рожка, которая идеально параллельна ранее единственному отверстию. Бета теперь осталась с правым коническим усеченным мороженым, и ей нужно рассчитать объем мороженого, который она должна быстро съесть, учитывая высоту усеченного конуса 4 дюйма и радиусы 1,5 дюйма и 0,2 дюйма:

объем =1/3 × π × 4(0.2² + 0.2 × 1.5 + 1.5²) = 10.849 in³

Эллипсоид

Эллипсоид является трехмерным аналогом эллипса и представляет собой поверхность, которую можно описать как деформацию сферы путем масштабирования направленных элементов. Центром эллипсоида называется точка, в которой пересекаются три попарно перпендикулярные оси симметрии, а отрезки, ограничивающие эти оси симметрии, называются главными осями. Если все три имеют разную длину, эллипсоид обычно называют трехосным. Уравнение для расчета объема эллипсоида выглядит следующим образом:

где a, b и c – длины осей

ПРИМЕР: Денис любит есть только мясо, но его мать настаивает на том, что он ест слишком много, и позволяет ему есть столько мяса, сколько он может поместиться в булочке в форме эллипсоида. Таким образом, Денис выдалбливает булочку, чтобы максимально увеличить объем мяса, который он может поместить в свой бутерброд. Учитывая, что осевая длина его булочки составляет 1,5 дюйма, 2 дюйма и 5 дюймов, Денис вычисляет объем мяса, который он может поместить в каждую выдолбленную булочку, следующим образом:

объем = 4/3 × π × 1.5 × 2 × 5 = 62.832 in³

Пирамида в геометрии

Пирамида в геометрии — это трехмерное тело, образованное путем соединения многоугольного основания с точкой, называемой его вершиной, где многоугольник — это фигура на плоскости, ограниченная конечным числом прямых отрезков. Существует множество возможных многоугольных оснований для пирамиды, но квадратная пирамида — это пирамида, в которой основание — квадрат. Другое различие, связанное с пирамидами, связано с расположением вершины. Вершина правильной пирамиды находится прямо над центром тяжести ее основания. Независимо от того, где находится вершина пирамиды, если ее высота измеряется как расстояние по перпендикуляру от плоскости, содержащей основание, до ее вершины, объем пирамиды можно записать как:

Обобщенный объем пирамиды:

Объем квадратной пирамиды:

EX: Вова очарован древним Египтом и особенно любит все, что связано с пирамидами. Будучи старшим из своих братьев и сестер Ту, Три и Форе, он может легко загнать их в загон и использовать по своему желанию. Воспользовавшись этим, Вова решает воспроизвести древние египетские времена и попросить своих братьев и сестер выступить в роли рабочих, строящих ему пирамиду из грязи с длиной ребра 5 футов и высотой 12 футов, объем которой можно рассчитать с помощью уравнения для квадрата. пирамида:

объем = 1/3 × 5² × 12 = 100 ft³

Трубка

Трубка, часто также называемая трубой, представляет собой полый цилиндр, который часто используется для передачи жидкостей или газа. Вычисление объема трубы по существу использует ту же формулу, что и для цилиндра (объем = pr2h), за исключением того, что в этом случае используется диаметр, а не радиус, и длина, а не высота. Таким образом, формула включает измерение диаметров внутреннего и внешнего цилиндров, как показано на рисунке выше, вычисление каждого из их объемов и вычитание объема внутреннего цилиндра из объема внешнего. С учетом использования длины и диаметра, упомянутых выше, формула для расчета объема трубы показана ниже:

где d1 – внешний диаметр, d2 – внутренний диаметр, а l – длина трубы.

EX: Женя занимается защитой окружающей среды. Ее строительная компания использует только самые экологически чистые материалы. Она также гордится тем, что удовлетворяет потребности клиентов. У одного из ее клиентов есть загородный дом, построенный в лесу, через ручей. Он хочет более легкого доступа к своему дому и просит Беулу построить ему дорогу, обеспечив при этом свободное течение ручья, чтобы не мешать его любимому месту рыбалки. Она решает, что надоедливые бобровые плотины были бы хорошей точкой для прокладки трубы через ручей. Объем запатентованного ударопрочного бетона, необходимый для строительства трубы с внешним диаметром 3 фута, внутренним диаметром 2,5 фута и длиной 10 футов, можно рассчитать следующим образом: